渡

一、论文核心贡献

1. 创新点

   • 提出首个实时Navier-Stokes方程求解器，专为游戏引擎优化（非物理精确解）。
   • 核心突破：无条件稳定性（任意时间步长不崩溃），牺牲物理精度换取视觉合理性与速度。
   • 完整C代码实现仅需100+行，支持2D/3D网格实时运算（标准PC硬件）。

2. 关键技术

   • 分层求解思想：先解密度场（线性），再扩展至速度场（非线性）。
   • 半拉格朗日法（advect()函数）：逆向追踪插值避免数值爆炸。
   • 质量守恒投影（project()函数）：霍奇分解消除速度场散度，生成漩涡效果。

二、算法流程详解

1. 密度场求解（基础层）

void dens_step(...) {
  add_source(...);   // 注入源（如烟雾）
  SWAP; diffuse(...); // 扩散（稳定高斯-赛德尔迭代） 
  SWAP; advect(...);  // 平流（半拉格朗日法）
}

• 扩散：
  使用20次高斯-赛德尔松弛求解线性系统，避免显式差分不稳定性：

  x[IX(i,j)] = (x0[...] + a*(相邻四项和)) / (1+4*a); 

• 平流：
  逆向追踪网格点来源位置，双线性插值获取密度：

  x = i - dt0*u[IX(i,j)];  // 逆向追踪
  d[IX(i,j)] = 相邻四点插值; // 双线性插值

2. 速度场求解（进阶层）

void vel_step(...) {
  add_source(...);     // 注入外力
  diffuse(...);        // 粘性扩散
  project(...);        // 质量守恒投影
  advect(...);         // 自平流（速度场跟随自身运动）
  project(...);        // 二次投影增强稳定性
}

• 关键创新：质量守恒投影
  通过霍奇分解将速度场拆解为无散度场（漩涡） + 梯度场（非物理振荡）：

  // 步骤1：计算散度场
  div[IX(i,j)] = -0.5h*(u右-u左 + v上-v下); 
  
  // 步骤2：解泊松方程求高度场p
  p[IX(i,j)] = (div[...] + 相邻四项和)/4; 
  
  // 步骤3：从速度场减去梯度场
  u[IX(i,j)] -= 0.5*(p右-p左)/h; 

3. 边界处理（set_bnd()）

• 固体边界：速度场法向分量归零（墙面无穿透）

  x[IX(0,i)] = (b==1) ? -x[IX(1,i)] : x[IX(1,i)]; // 水平墙反射

• 角点特殊处理：避免数值歧义

  x[IX(0,0)] = 0.5*(x[IX(1,0)] + x[IX(0,1)]); 

三、NS方程原始形式与算法项对应

论文图1给出NS方程的核心形式（简化向量表示）：

右边三项分别对应：

1. → **advect()**（自平流项）

   • 物理意义：流体自身惯性导致的动量输运（非线性项）
   • 算法实现：通过半拉格朗日法逆向追踪速度场（详见§4.3）：

     x = i - dt0*u[IX(i,j)];  // 逆向追踪质点位置
     u_new = 双线性插值(u_old) // 用前一时刻速度场插值

2. → **diffuse()**（粘性扩散项）

   • 物理意义：流体粘性导致的动量扩散（耗散项）
   • 算法实现：隐式高斯-赛德尔迭代求解扩散方程（§4.2）：

     // 解方程：u - dt*ν∇²u = u_old
     u[IX(i,j)] = (u_old + a*(相邻速度之和)) / (1+4*a);

3. → **add_source()**（外力项）

   • 物理意义：外部力场（如重力、风扇）的输入
   • 算法实现：直接叠加外力到速度场（§4.1）：

     u[i] += dt * f_ext[i]; 

四、压力项的隐藏角色与project()

NS方程在不可压缩流体中需补充质量守恒约束：

压力项由此衍生：

• 物理本质：压力是维持流体不可压缩的约束力（非独立外力）
• 算法对应 → **project()**（质量守恒投影）
  • 通过霍奇分解（图7）将速度场拆解：
    
  • 核心操作（§4.4）：
    1. 计算速度场散度 → 质量亏损量

       div = -0.5h*(u_right - u_left + v_top - v_bottom); 

    2. 解泊松方程→ 压力场

       p[IX(i,j)] = (div + 相邻p之和)/4; // 高斯-赛德尔迭代

    3. 从速度场中减去压力梯度 → 无散速度场

       u -= 0.5*(p_right - p_left)/h; // 消除质量亏损

五、算法流程与NS方程的完整映射

✅ 关键说明：

• 压力项无独立函数：其效果通过project()中间接实现（泊松方程求解）
• project()双重调用：首次在扩散后修正粘性导致的质量亏损，二次在平流后修正惯性导致的质量亏损（§4.4代码）
• 粘滞力与扩散项：严格对应diffuse()的物理意义

六、边界条件与数值稳定性

• 固体边界（set_bnd()）：强制法向速度为零（§4.4）：

  u_wall = (边界类型==1) ? -u_adjacent : u_adjacent; // 反射法向分量

• 稳定性保障：
  • 扩散项用隐式格式（无条件稳定）
  • 平流项用半拉格朗日法（逆向追踪避免数值振荡）

此设计确保算法可处理任意时间步长（论文§2强调），突破传统CFL条件限制。

七、参考

1.Navier-Stokes方程式介紹與推導
2.描述流場性質的2種方法 – Eulerian v.s. Lagrange，固定座標系下流動質點的物理性質變化表示

以飞牛photo文件夹挂载群晖目录为例

1、在photo文件夹中新建一个目录，例如DSM

2、右键点击DSM目录, 选择“详细信息”, 复制原始路径/vol1/1000/Photos/DSM

3、进入SSH

sudo -i

输入root密码后获取root权限

4、进入fstab文件

vim /etc/fstab

5、按“i”键进入编辑模式, 在fstab文件最后加入一行

//群晖共享文件夹IP地址/群晖共享文件夹路径 /vol1/1000/Photos/smbpic cifs username=群晖用户名,password=群晖密码,iocharset=utf8,gid=1000,uid=1000,file_mode=0777,dir_mode=0777 0 0 

6、输入完成后, 按下esc, 退出编辑模式, 再输入:wq退出文件

7、输入以下命令执行挂载, 成功

systemctl daemon-reload

或

mount -a

在现代实时渲染中，处理大量动态光源是一个核心挑战。传统的 Forward Rendering（正向渲染） 在每个物体绘制时遍历所有光源计算光照，其性能开销与 物体数量 × 光源数量 成正比，因此无法高效处理大量光源。

以下是主流的几种方案：

1. Deferred Shading/Deferred Rendering（延迟着色/延迟渲染）

这是最早广泛用于解决多光源问题的方案。

• 核心思想：将几何处理和光照计算分离成两个独立的阶段。

  • 第一阶段（Geometry Pass）：遍历所有几何体，但不计算任何光照。 Instead，将表面的各种属性（如位置、法线、漫反射颜色、高光系数等）渲染到一张张单独的缓冲区中，合称为 G-Buffer。
  • 第二阶段（Lighting Pass）：不再需要场景几何信息。遍历每一个光源，对于每个光源，将其视为一个几何体（如球体、锥体），并在屏幕空间下，根据 G-Buffer 中存储的信息，计算该光源对哪些像素有贡献。每个光源的计算互不影响。

• 优点：

  • 光照计算复杂度与场景复杂度无关，仅与屏幕分辨率和光源数量成正比。非常适合处理大量小型光源。
  • 每个像素只计算真正被贡献的光照，效率高。

• 缺点：

  • G-Buffer 占用大量带宽和内存。
  • 对透明物体和抗锯齿（MSAA）支持不友好，需要额外方案（如正向渲染透明物体，使用 TAA/FXAA）。
  • 材质类型受限，G-Buffer 的格式固定，难以支持非常复杂、多样的材质（虽然可以通过设计来扩展，但有成本）。

2. Forward+ (Tiled Forward Rendering)（分块正向渲染）

Forward+ 是对传统正向渲染的增强，旨在保留其优点的同时解决多光源问题。

• 核心思想：它也分为两个阶段，但比延迟渲染更“轻量”。

  • 第一阶段（Depth Pre-Pass）：首先，渲染整个场景的深度信息，得到一个深度缓冲区（Depth Buffer）。
  • 第二阶段（Light Culling & Shading）：
    1. 分块（Tiling）：将屏幕分割成许多个小块（Tiles），例如 16x16 或 32x32 像素的块。
    2. 光源剔除（Light Culling）：对每个屏幕块，根据其在世界空间中的视锥体（由块的像素区域和深度范围计算得出），遍历所有光源，找出哪些光源会影响到这个块。为每个块生成一个光源索引列表。
    3. 着色（Shading）：使用传统的正向渲染流程绘制每个物体。在像素着色器中，不再是遍历所有光源，而是只需加载当前像素所在屏幕块对应的光源索引列表，并只计算这些少数光源的贡献。

• 优点：

  • 克服了传统正向渲染 O(n*m) 的计算复杂度。
  • 支持 MSAA 和任意材质，因为着色阶段仍然是正向渲染，着色器可以非常灵活。
  • 比延迟渲染占用更少的内存带宽（没有大的 G-Buffer）。

• 缺点：

  • 光源剔除阶段需要一定的 CPU 或 GPU 计算开销。
  • 每个像素最终计算的光源数量可能不均匀（有的块光源多，有的块光源少），可能导致性能波动。

3. Clustered Shading（集群着色）

这是对 Forward+ 的进一步优化，解决了其一个主要痛点：在深度方向上划分不够精细。

• 核心思想：Forward+ 只在屏幕的 2D 空间上分块，而在深度方向上是“一刀切”的。Clustered Shading 在 3D 空间中对视图视锥体进行划分。

  • 不仅沿着屏幕的 X、Y 轴分块，还沿着 Z 轴（深度轴） 进行切片（Slice）。这样形成了一个个 3D 的“集群”（Cluster）。
  • 光源剔除过程是为每个 3D 集群计算其影响的光源列表。

• 优点：

  • 解决了 Forward+ 在深度方向上的浪费问题。例如，一个靠近相机的小块和一个很远的小块，如果包含的光源数量差异很大，在 2D Tiling 中会被同等对待，而在 3D Clustering 中会被区分开，光照列表更精确。
  • 尤其擅长处理光源分布不均匀的复杂场景（如有很多小灯的长走廊）。

• 缺点：

  • 算法实现比 Forward+ 更复杂。
  • 剔除阶段的计算开销更高。

4. Tiled Deferred / Clustered Deferred

这只是上述思想的组合。延迟渲染同样可以受益于分块/集群的光源剔除技术。

• 核心思想：在延迟渲染的 Lighting Pass 中，不再为每个光源绘制一个全屏的 Light Volume，而是使用计算着色器，对每个 Tile 或 Cluster 进行光源剔除，然后逐块进行光照计算。
• 优点：进一步提升了延迟渲染在处理极大量光源时的性能，因为它避免了为每个光源绘制其影响范围（Overdraw），而是更精确地计算每个像素受哪些光源影响。

总结与对比

现代游戏引擎的选择

• **Unity (URP/HDRP)**：
  • URP：默认使用 Forward+ (Tiled) 渲染器。因为它需要在移动端和PC端有良好的平衡，并支持多种材质。
  • HDRP：默认使用 Deferred。因为它面向高端平台，需要处理极其复杂的光照和材质（通过多通道G-Buffer实现），并且其透明物体通常用正向渲染进行叠加。
• Unreal Engine：传统上以延迟渲染为核心，并且其光照计算也使用了分块/集群优化。UE5 的 Lumen 等全局光照系统也构建在延迟管线之上。

结论：
目前，Clustered Shading 被认为是处理大量动态光源最强大和通用的解决方案，无论是与正向渲染结合（Clustered Forward）还是与延迟渲染结合（Clustered Deferred），它都提供了最佳的性能和灵活性，因此被许多3A游戏和现代游戏引擎所采用。Forward+ 是一个优秀的折中方案，而延迟渲染在特定需求下依然非常强大。

重要性采样（Importance Sampling, IS） 和多重重要性采样（Multiple Importance Sampling, MIS） 技术在蒙特卡洛积分中至关重要。

它们主要用于计算机图形学（如光线追踪渲染）、强化学习等领域，以高效地计算复杂积分。

1. 蒙特卡洛积分基础

首先，快速回顾一下蒙特卡洛积分。我们要计算一个积分：
$$I = \int_a^b f(x) dx$$

蒙特卡洛积分的基本思想是随机采样。它通过从定义域内随机抽取样本 $x_i$，计算 $f(x_i)$，然后取平均值来近似积分：
$$I \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N f(x_i)$$

但这里有一个问题：如果 $f(x)$ 在某些区域值很大，在另一些区域值很小（例如，一个尖锐的峰值），均匀随机采样会非常低效。大多数样本会落在 $f(x)$ 值很小的“不重要”区域，对最终结果的贡献微乎其微，从而造成方差很大，收敛速度很慢。

2. 重要性采样 (Importance Sampling, IS)

核心思想

重要性采样的核心思想是：我们应该把更多的样本放在函数值大（重要）的区域，而不是均匀地放置样本。

换句话说，我们不再使用均匀分布进行采样，而是使用一个与我们想要积分的函数 $f(x)$ 形状相似的概率分布 $p(x)$ 来生成样本。

数学表达

为了修正采样分布带来的偏差，我们需要对每个样本进行加权。蒙特卡洛积分公式变为：
$$I = \int f(x) dx = \int \frac{f(x)}{p(x)} p(x) dx \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \frac{f(x_i)}{p(x_i)}$$
其中：

• $x_i$ 是从分布 $p(x)$ 中抽取的样本。
• $\frac{f(x_i)}{p(x_i)}$ 被称为重要性权重。

关键要求与目标

1. $p(x)$ 必须满足：$p(x) > 0$ wherever $f(x) \neq 0$。即，在 $f(x)$ 有值的任何地方，$p(x)$ 都不能为零，否则我们会忽略掉一些本应有贡献的区域。
2. 理想情况：如果 $p(x)$ 正比于 $f(x)$，即 $p(x) = c|f(x)|$，那么方差会变为 0，每个样本的贡献都是常数。这是重要性采样的终极目标。
3. 现实情况：我们很难找到完美的 $p(x)$，但只要 $p(x)$ 的形状大致与 $f(x)$ 相似，就能显著降低方差。

例子：渲染中的直接光照

在计算一个点接收到来自环境的光照时，积分函数 $f(x)$ 是光的强度乘以BRDF（材质属性）。如果光来自一个很小的窗户（一个很小的区域贡献了大部分的光），均匀地在所有方向采样会非常低效。重要性采样会选择一个与光强分布相似的 $p(x)$，让我们更多地朝窗户的方向采样，从而快速收敛。

局限性

重要性采样有一个致命弱点：它严重依赖于所选采样分布 $p(x)$ 的质量。
如果 $p(x)$ 选得不好，比如：

• $p(x)$ 的形状与 $f(x)$ 相差甚远。
• $f(x)$ 本身由多个不同特征的函数相乘组成（例如，$f(x) = g(x)h(x)$），很难找到一个 $p(x)$ 同时匹配 $g(x)$ 和 $h(x)$。

这时，重要性采样的效果可能甚至不如简单采样，方差会变得非常大。

3. 多重重要性采样 (Multiple Importance Sampling, MIS)

核心思想

既然很难找到一个完美的采样分布，那我们为什么不结合多个不同的采样分布呢？

MIS 的核心智慧在于：它允许我们使用 多种采样策略（例如，从一个分布 $p_1$ 中取 $n_1$ 个样本，从另一个分布 $p_2$ 中取 $n_2$ 个样本），然后通过一个聪明的加权函数将这些样本结合起来，从而充分利用每种策略的优势，避免其劣势。

数学表达

假设我们有 $m$ 种不同的采样分布 $p_1(x), p_2(x), …, p_m(x)$。
从每个分布 $p_i(x)$ 中采集 $n_i$ 个样本，总样本数 $N = \sum n_i$。

MIS 的估计量表示为：
$$I \approx \sum_{i=1}^m \frac{1}{n_i} \sum_{j=1}^{n_i} w_i(x_{i,j}) \frac{f(x_{i,j})}{p_i(x_{i,j})}$$
其中：

• $x_{i,j}$ 是从第 $i$ 个分布 $p_i$ 中抽取的第 $j$ 个样本。
• $w_i(x)$ 是权重函数，其关键作用是平衡不同采样方法在某个特定点 $x$ 上的贡献。所有权重函数必须满足 $\sum_{i=1}^m w_i(x) = 1$（当 $f(x) \neq 0$）。

关键：权重函数 $w_i(x)$

权重函数的设计是 MIS 的精髓。一个好的权重函数应该：

• 在某种采样策略表现好的地方，给予该策略产生的样本更高的权重。
• 在某种采样策略表现差的地方（即该策略的概率密度函数值很小），降低其权重，以避免产生巨大的重要性权重（$f(x)/p_i(x)$）。

最著名和常用的权重函数是平衡启发式（Balance Heuristic）：
$$w_i(x) = \frac{n_i p_i(x)}{\sum_k n_k p_k(x)}$$

将其代入 MIS 公式，得到：
$$I \approx \sum_{i=1}^m \frac{1}{n_i} \sum_{j=1}^{n_i} \frac{f(x_{i,j})}{\sum_k n_k p_k(x_{i,j})} \approx \frac{1}{N} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^{n_i} \frac{f(x_{i,j})}{\sum_k (n_k / N) p_k(x_{i,j})}$$

平衡启发式在实践中效果非常好，它几乎总是比使用任何一种单一采样策略的方差要低。

例子：渲染中的直接光照（再次）

计算光照积分 $L = \int L_i(light) * BRDF * \cos\theta d\omega$ 时，这个函数是两部分相乘：

1. **光强分布 $L_i$**：可能是一个小窗户，适合用光源采样。
2. BRDF 分布：可能是镜面反射，适合用 BRDF 采样。

单一的重要性采样会陷入两难：

• 如果用光源采样，在BRDF值很小（非镜面反射方向）的地方采样会浪费样本。
• 如果用BRDF采样，可能会错过重要的光源。

MIS 的解决方案：
同时使用两种采样策略。

• 策略1（$p_1$）：根据光源分布采样（多朝窗户方向采样）。
• 策略2（$p_2$）：根据BRDF分布采样（多朝镜面反射方向采样）。

然后使用平衡启发式权重函数将这两组样本结合起来。结果是：

• 当采样方向既指向光源又是镜面反射方向时（“好”样本），两种策略的 $p_i(x)$ 都较高，权重被合理分配。
• 当采样方向指向光源但不是镜面反射方向时，BRDF采样策略的 $p_{brdf}(x)$ 会很小，因此其样本权重 $w_{brdf}(x)$ 会被降低，避免产生噪声。
• 反之亦然。

这样，MIS 巧妙地结合了两种策略的优点，得到了一个方差更低、更稳定的估计结果。

总结与对比

简单来说，重要性采样是“把所有鸡蛋放在一个篮子里，但希望这个篮子足够结实”，而多重重要性采样是“把鸡蛋分开放到几个篮子里，并且有一个智能系统来决定从哪个篮子拿鸡蛋最安全”。MIS 是重要性采样思想的重大飞跃，使其在实践中变得更加实用和强大。